ВМК КГУ  
Неофициальный Сайт Факультета Вычислительной Математики и Кибернетики КГУ
  Главная |  Новости |  Гостевая книга
Мат. Логика
ГЭТУ СПб. (Мет. Указания)
Математическая Логика
  Современная логика развилась в точную науку, применяющую математические методы. Она стала, по словам Порецкого, математической логикой - Логикой по предмету, математикой по методу. В этом качестве логика стала пригодной для правильной постановки и решения логических проблем с математикой, в особенности проблем связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математических теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математическое доказательство состоит в последовательном применении тех или иных логических средств к исходным положениям. Но логические средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз и навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики;
  "...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была проводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом" (Ленин В.И. Полное собрание сочинений, 5 издание т.29, с. 172).

  Человеческая практика является, однако, на каждом ист. этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логические средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на следующем этапе или в данной области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения = изменяются логические средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логических средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютным. Зато имеет смысл рассмотрение логических средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для конкретной логики данной математической теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории.

  С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает следующие элементы:
  • Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построение осмысленны выражений, называемых формулами данного языка.

  • Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.

  В 70 гг. 20 века получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система - это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые их этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической логики лежит в основе одного из современных построений логики конструктивной математики. В приложениях математической логики часто применяются исчисления предикатов - классическое и интуиционистское.

 

статистика


Webmaster © 2004 - 2007 г.  Kazan State University Updated on 8 November 2007