ВМК КГУ  
Неофициальный Сайт Факультета Вычислительной Математики и Кибернетики КГУ
  Главная |  Новости |  Гостевая книга
Мат. Анализ
Шерстнев А.Н. (Лекции)
Экз. Вопросы
Экзаменационные Вопросы
1 Курс, 1 Семестр

Элементы теории множеств.
1. Отображения (функции), смысл терминов: инъекция, сюръекция, биекция.
2. Метод математической индукции. Бином Ньютона.
3. Счетные множества. Несчетность множества [0,1].
4. Аксиомы множества вещественных чисел.
5. Ограниченные множества на числовой прямой К.
6. Топология вещественной прямой (определения и примеры).
7. Теорема Вейерштрасса о существовании предельной точки для бесконечного ограниченного множества.

Предел числовой последовательности.
8. Определение понятия предела числовой последовательности на языке "e,N".
9. Единственность предела числовой последовательности. Теорема о "двух милиционерах".
10. Три свойства сходящейся последовательности: о пределе аn≥0, о пределе |an|, об ограниченности.
11. Бесконечно малая величина, определения предела с использованием этого понятия.
12. Арифметические свойства пределов.
13. Примеры сходящихся последовательностей.
14. Теорема Болъцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся последовательности для ограниченной последовательности.
15. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Теорема о вложенных отрезках.
16. Определение числа е.
17. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Предел функции и понятие непрерывности функции.
18. Определение предела функции по Коши, по Гейне и их эквивалентность.
19. Свойства пределов функции в точке: единственность, арифметические свойства, ограниченность функции в окрестности.
20. Критерии Коши существования предела функции в точке.
21. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, односторонние пределы.
22. Первый и второй замечательные пределы.
23. Сравнение бесконечно малых величин (О-символика) и примеры замечательных эквивалентностей.
24. Непрерывность функции: определения и примеры.
25. Свойства функций, непрерывных в точке.
26. Точки разрыва, их классификация и примеры.
27. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
28. Теорема Коши о средних значениях функции, непрерывной на отрезке, ее следствия.
29. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Производная и дифференциал функций вещественной переменной.
30. Определение производной, ее геометрический смысл. Примеры.
31. Арифметические действия и производные.
32. Производная суперпозиции функций и производная обратной функции.
33. Дифференциал функций, его свойства.
34. Производные функций, заданных параметрически или неявно.
35. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
36. Теорема Ролля.
37. Формула Лагранжа и обобщающая ее теорема Коши.
38. Правило Лопиталя.
39. Формула Тейлора.
40. Примеры представления функций с помощью формулы Тейлора.
41. Локальная формула Тейлора.
42. Исследование монотонности функции на отрезке с помощью первой производной.
43. Необходимое условие локального экстремума.
44. Достаточное условие локального экстремума.
45. Неравенства Гельдера и Минковского.
46. Исследование кривых на выпуклость и вогнутость.
47. Асимптоты. Схема построения графиков функции.

Первообразная и неопределенный интеграл.
48. Первообразная и ее свойства.
49. Неопределенный интеграл, его связь с дифференцированием, линейность интегрирования.
50. Формула интегрирования по частям и формула замены переменной.
51. Таблица простейших интегралов.
52. Примеры применения свойств и таблицы интегралов для вычисления интегралов.
53. Интегрирование простейших рациональных дробей.
54. Алгоритм Евклида для выделения целой части рациональной функции.
55. Лемма о представлении полинома в виде произведения.
56. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших рациональных дробей.
57. Примеры интегрирования рациональных функций.
58. Интегрирование тригонометрических функций.
59. Интегрирование функций вида R(x,Y) , где y=(ax2+bx+c)1/2

1 Курс, 2 Семестр

Определенный интеграл Римана.
1. Определение интеграла Римана, его геометрический с мысл.
2. Необходимое условие интегрируемости. Не интегрируемостъ функции Дирихле.
3. Суммы и интегралы Дарбу, их свойства.
4. Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману.
5. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
6. Линейность и аддитивность интеграла Римана.
7. Интегрирование неравенств и теорема о среднем для интеграла Римана.
8. Неравенство Коши и Гельдера для интегралов.
9. Интеграл с переменным верхним пределом и формула Ньютона-Лейбница.
10. Замена переменной и формула интегрирования по частям для интеграла Римана.
11. Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов (формулы прямоугольников и трапеций).
12. Вычисление площадей криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
13. Вычисление длин дуг, заданных как график функции и параметрическими уравнениями.
14. Вычисление объемов тел и площади поверхности вращения.

Несобственные интегралы.
15. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку: определение, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям.
16. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла по бесконечному про межутку.
17. Первый и второй признаки сравнения для несобственных интегралов и их следствия.
18. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла и примеры его применения.
19. Несобственные интегралы по конечному промежутку; определения, признаки сходимости (без доказательств).
20. Главное значение по Коши для сингулярных интегралов.

Числовые ряды.
21. Частичные суммы и определение суммы числового ряда.
22. Критерий Коши сходимости числового ряда и его следствия.
23. Первый и второй признаки сравнения для числовых рядов.
24. Интегральный признак Коши сходи мости числового ряда.
25. Признаки Коши и Даламбера сходимости числовых рядов.
26. Знакопеременные ряды. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле и Абеля.
27. Перестановка членов ряда. Теоремы о перестановке членов ряда (2 случая :ряды с неотрицательными членами, абсолютно сходящиеся ряды и теорема Римана об условно сходящихся рядах).
28. Умножение числовых рядов.

Последовательности функций и функциональные ряды.
29. Определение равномерной сходимости последовательности функций. Теорема о непрерывности предельной функции.
30. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций. Пример: х" на [0,1].
31. Функциональные ряды: определения, равномерная сходимость, признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
32. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда.
33. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
34. Степенные ряды: определение, теоремы Абеля, формула Коши-Адамара для радиуса сходимости.
35. Ряды Тейлора: теорема о сумме степенного ряда, разложения в ряды Тейлора элементарных функций.

Функции нескольких переменных - дифференциальное исчисление в евклидовых пространствах.
36. Определение евклидова пространства Rn.
37. Топологические понятия в Rn.
38. Предел последовательности векторов в евклидовом пространстве.
39. Функции нескольких переменных: предел функции в точке, непрерывность функции в точке.
40. Равномерная непрерывность функций нескольких переменных. Теорема Кантора.
41. Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывные на компакте.
42. Теорема Коши о промежуточном значении для функции, непрерывных на линейно связном компакте.
43. Функции двух переменных: определения частых производных и теорема о равенстве смешанных производных.
44. Градиент функции двух переменных, производная по направлению и формула для ее вычисления.
45. Полное приращение и дифференциал функции двух переменных. Теорема о дифференцируемости функции в точке, имеющей непрерывные в этой точке частные производные.
46. Частные производные и дифференциалы сложных функций. Инвариантности формы первого дифференциала.
47. Дифференциалы высших порядков и формула Тейлора.
48. Частные производные, градиент и дифференциал для функции n переменных.
49. Дифференцирование сложных функций n переменных.
50. Дифференцирование отображений. Матрица Якоби.

2 Курс, 1 Cеместр

Дифференциальное исчисление в Евклидовых пространствах (продолжение).
1. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие локального экстремума.
2. Достаточные условия локального экстремума для функции и переменных.
3. Критерий Сильвестра в общем случае и случай функции двух переменных.
4. Неявные функции одной или нескольких переменных.
5. Неявные отображения.
6. Условный экстремум функции двух переменных. Метод Лагранжа.
7. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод Лагранжа.

Кратные интегралы Римана.
8. Мера Жордана в R2.
9. Мера Жордана в Rn (n = 1, n > 3).
10. Свойства меры Жордана.
11. Критерий измеримости множеств по Жордану.
12. Определение кратного интеграла Римана. Примеры.
13. Необходимое условие существования кратного интеграла Римана.
14. Критерии Дарбу существования кратного интеграла Римана.
15. Критерии Лебега существования кратного интеграла Римана (без доказательства).
16. Предварительные леммы, используемые в доказательствах свойств кратных интегралов.
17. Линейность и аддитивность кратных интегралов Римана.
18. Интегрирование неравенств и теорема о среднем для кратных интегралов.
19. Сведение двойных интегралов к повторным.
20. Сведение n-кратных интегралов повторным.
21. Теорема о замене переменных в кратном интеграле.
22. Переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам в кратных интегралах.
23. Приложения кратных интегралов: вычисление интеграла Пуассона, вычисление площадей и объемов.
24. Формулы вычисления площади поверхности, массы и координат центра тяжести.

Интегралы, зависящие от параметра.
25. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы для интегралов с постоянными пределами.
26. Собственные интегралы в случае, когда от параметра зависит и подынтегральная функция и пределы интегрирования.
27. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости.
28. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
29. Теоремы о непрерывности и интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
30. Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
31. Гамма функция Эйлера и ее свойства.
32. Бета функция Эйлера и ее свойства.

Мера и интеграл Лебега.
33. Мера Лебега в R2.
34. Мера Лебега в абстрактном пространстве.
35. Теорема об основном свойстве меры Лебега.
36. Замечания о множествах меры нуль и мера Лебега-Стильтьеса.
37. Измеримые функции. Арифметические свойства измеримых функций.
38. Теоремы сравнения различных типов сходимости последовательности измеримых функций.
39. Определение интеграла Лебега.
40. Линейность, аддитивность и интегрирование неравенств для интеграла Лебега.
41. Интегрируемость по Лебегу мажорированной функции, сигма-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
42. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
43. Теорема Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла.
44. Теорема Фату о предельном переходе под знаком интеграла.
45. Определение интеграла Лебега на множестве бесконечной меры.
46. Теорема о сравнении интегралов по Риману и по Лебегу.

2 Курс, 2 Cеместр

Криволинейные интегралы.
1. Способы задания кривой на плоскости и в пространстве. Кусочно-гладкая кривая.
2. Задача о вычислении массы неоднородной нити. Криволинейный интеграл 1-го рода.
3. Задача о вычислении работы переменной силы вдоль кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода. Случай естественного параметра.
4. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
5. Формула Грина, Формула Стокса (без доказательства).
6. Определение площади поверхности при различных способах задания поверхности.
7. Задача о вычислении массы неоднородной поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.
8. Задача о вычислении потока жидкости через поверхность. Поверхностный интеграл 2-го рода.
9. Формула Гаусса-Остроградского.
10. Элементы теории поля: линии тока, циркуляция, набла-оператор, потенциал, дивергенция, ротор. Формулировка теорем Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского в терминах элементов теории поля.

Теория функций комплексного переменного.
11. Способы представления комплексного числа, действия над комплексными числами.
12. Примеры функций комплексного переменного. Отображения.
13. Предел последовательности комплексных чисел. Предел комплекснозначной функции комплексного переменного. Комплекснозначная функция комплексного переменного, непрерывная в точке.
14. Производная комплекснозначной функции по комплексному переменному. Условия Коши-Римана.
15. Примеры функций, дифференцируемых по комплексному переменному. Производные.
16. Производная суперпозиции, производная обратной функции с примерами.
17. Сопряженные гармонические функции. Пример восстановления сопряженной гармонической фикции по исходной гармонической функции.
18. Интеграл по комплексному переменному.
19. Интегральная теорема Коши для односвязной области. Первообразная регулярной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
20. Обобщение интегральной теоремы Коши для многосвязной области.
21. Интегральная формула Коши.
22. Интеграл типа Коши и его свойства.
23. Ряды в комплексной плоскости. Числовые и функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Теорема Абеля для степенных рядов.
24. Свойства сумм равномерно сходящихся рядов.
25. Разложение регулярной функции в ряд Тейлора с примерами.
26. Функции, регулярные в кольце. Разложение в ряд Лорана.
27. Типы изолированных особых точек с примерами.
28. Вычет в изолированной особой точке. Вычет в бесконечности. Теорема Коши о вычетах.
29. Приемы вычисления вычетов.
30. Примеры вычисления контурных интегралов с применением вычетов.
31. Применение теории вычетов для вычисления интегралов Римана и несобственных интегралов от вещественнозначных функций.

Ряды Фурье и интеграл Фурье.
32. Нормированное векторное пространство. Примеры вычисления норм в пространстве непрерывных функций.
33. Фундаментальные и сходящиеся последовательности. Банаховы пространства. Пример пространства непрерывных функций, не являющегося банаховым.
34. Унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Норма, индуцированная скалярным произведением.
35. Гильбертово пространство. Пример гильбертова пространства (без доказательства полноты).
36. Ортонормированные системы. Пример.
37. Коэффициенты Фурье. Теорема о приближении вектора линейной комбинацией векторов ортонормированной системы.
38. Ряды Фурье. Теорема о сходимости ряда Фурье в гильбертовом пространстве.
39. Теорема о разложимости вектора в ряд Фурье.
40. Тригонометрический ряд Фурье в традиционной и комплексной формах.
41. Частичная сумма ряда Фурье.
42. Осцилляционная лемма Римана (без доказательства). Остаток ряда Фурье.
43. Условие Дини сходимости ряда Фурье в точке. Частный случай условия Дини.
44. Схема доказательства полноты тригонометрической системы в пространстве непрерывных периодических функций. Полнота т.е. в пространстве интегрируемых с квадратом функций (без доказательства).
45. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.
46. Интеграл Фурье. Интегральное преобразование Фурье.
47. Интегральное преобразование от производной. Косинус- и синус-преобразования Фурье.

 

статистика


Webmaster © 2004 - 2007 г.  Kazan State University Updated on 8 November 2007